Método de Simpson

En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:

Derivación de la regla de Simpson

Consideramos el polinomio interpolador de orden dos ${\displaystyle P_{2}(x)}$, que aproxima a la función integrando ${\displaystyle f(x)}$ entre los nodos x₀ = a, x₁ = b y m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de la interpolación polinómica de Lagrange es:

${\displaystyle P_{2}(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}$

Así, la integral buscada¹​

${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

es equivalente a

${\displaystyle I=\int _{a}^{b}P_{2}(x)\,dx+{\mbox{término error}}={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f(m)+f(b)\right]+E(f),}$

donde E(f) es el término de error; por lo tanto, se puede aproximar como:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f(m)+f(b)\right].}$

Regla de Simpson 1/3 compuesta

En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula compuesta de Simpson. Se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales (con n par), de manera que ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$, donde ${\displaystyle h=(b-a)/n}$ para ${\displaystyle i=0,1,...,n}$.

Aplicando la Regla de Simpson a cada subintervalo ${\displaystyle [x_{j-1},x_{j+1}],\ j=1,3,5,...,n-1,}$ tenemos:

${\displaystyle \int _{x_{j-1}}^{x_{j+1}}f(x)\,dx\approx {\frac {x_{j+1}-x_{j-1}}{6}}\left[f(x_{j-1})+4f(x_{j})+f(x_{j+1})]\right.}$

Sumando las integrales de todos los subintervalos, llegamos a que:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{j=1}^{(n)-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n}f(x_{2j-1})+f(x_{n}){\bigg ]},}$

El máximo error viene dado por la expresión ${\displaystyle (b-a)\,{\frac {h^{4}}{180}}\,\max _{a\leq \xi \leq b}\left|f^{(4)}(\xi )\right|.}$

Regla de Simpson 3/8 simple

Esta forma es muy similar a la regla de Simpson clásica, pero se usa polinomios de Lagrange de tercer orden. Se tiene en consideración que ahora el paso ${\displaystyle h={\tfrac {(b-a)}{3}}}$, ya que la función se tabula con cuatro puntos de igual distancia h y formando tres subintervalos. Si x_n+1= x_n+h con x₀=a, se define de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}I&=\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}P_{3}(x)dx\\&\approx {\tfrac {3h}{8}}\left[f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+f(x_{3})\right]={\tfrac {3h}{8}}\left[f(a)+3f\left({\tfrac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\tfrac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right]\\\end{alignedat}}}$

El error al usar la regla de Simpson de 3/8 se puede obtener usando:

${\displaystyle E(f)=-{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )}$

donde ${\displaystyle \xi }$ se encuentra dentro del intervalo [a,b].

Regla de Simpson 3/8 compuesta

Es más exacta que la regla de Simpson 3/8 simple, ya que divide el intervalo de integración en más subintervalos. Se expresa de la siguiente forma:

${\displaystyle I\approx {\frac {3h}{8}}\left[f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+2f(x_{3})+3f(x_{4})+3f(x_{5})+2f(x_{6})+\dots +f(x_{n})\right]}$

tomando ${\displaystyle h={\tfrac {(b-a)}{n}}}$ donde n es el número de subintervalos, con la condición de que n sea múltiplo de 3 y que en cada sumatorio se tomen los valores de ${\displaystyle i=i+3}$.

${\displaystyle I\approx {\frac {3h}{8}}\left[f(x_{0})+3\sum _{i=0}^{{\frac {n}{3}}-1}f(x_{3i+1})+3\sum _{i=0}^{{\frac {n}{3}}-1}f(x_{3i+2})+2\sum _{i=0}^{{\frac {n}{3}}-2}f(x_{3i+3})+f(x_{n})\right]}$

Para el cálculo del error, se obtiene la cuarta derivada de la función y tomando en cuenta que ${\displaystyle \xi }$ debe pertenecer al intervalo de integración, se aplica la siguiente fórmula:

${\displaystyle E(f)={\frac {n}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )}$