Sustitución de Euler

 La sustitución de Euler es un método para evaluar integrales de la forma

${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx,}$

donde ${\displaystyle R}$ es una función racional de ${\displaystyle x}$ y de ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$. En tales casos, el integrando se puede cambiar a una función racional usando las sustituciones de Euler.

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Primera sustitución de Euler

La primera sustitución de Euler se utiliza cuando ${\displaystyle a>0}$. Se sustituye

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t}$

y se resuelve la expresión resultante para ${\displaystyle x}$. Se tiene que ${\displaystyle x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}}$ y que el término ${\displaystyle dx}$ se puede expresar racionalmente en ${\displaystyle t}$.

En esta sustitución, se puede elegir el signo positivo o el signo negativo.

Segunda sustitución de Euler

Si ${\displaystyle c>0}$, se toma

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.}$

Se resuelve para ${\displaystyle x}$ de manera similar al caso anterior y entonces ${\displaystyle x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.}$

Nuevamente, se puede elegir el signo positivo o negativo.

Tercera sustitución de Euler

Si el polinomio ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ tiene raíces reales ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$, se puede elegir ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t}$. Esto produce ${\displaystyle x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},}$ y como en los casos anteriores, se puede expresar el integrando entero racionalmente en ${\displaystyle t}$.