Sumas de Riemann

 

La integral de Riemann se define en términos de Sumas de Reimann de funciones respecto de particiones etiquetadas de un intervalo. 

Sea [a,b] un intervalo cerrado de la recta real; entonces una partición etiquetada de [a,b] es una secuencia finita  y denotamos la partición como  Esto divide al intervalo  en  subintervalos , cada uno de los cuales es "etiquetado" con un punto especificado t_i de . Sea Δ_i = x_i−x_i−1 la anchura del subintervalo i; el paso de esta partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande obtenido por la partición, max_i=1…n Δ_i. Un sumatorio de Riemann de una función f respecto de esta partición etiquetada se define como

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i};}$

Así cada término del sumatorio es el área del rectángulo con altura igual al valor de la función en el punto especificado del subintervalo dado, y de la misma anchura que la anchura del subintervalo. La integral de Riemann de una función ${\displaystyle f}$ sobre el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ es igual a S si:

Para todo  existe  tal que, para cualquier partición etiquetada  con paso más pequeño que δ, se tiene

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon }$, donde ${\displaystyle S=\int _{a}^{b}f=\lim _{\|{\Delta _{i}}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}}$

Cuando las etiquetas escogidas dan el máximo (o mínimo) valor de cada intervalo, el sumatorio de Riemann pasa a ser un sumatorio de Darboux superior (o inferior), lo que sugiere la estrecha conexión que hay entre la integral de Riemann y la integral de Darboux.

Interpretación geométrica

En Análisis real, la integral de Riemann es una forma simple de definir la integral de una función sobre un intervalo como el área localizada bajo la curva de la función.

Sea ${\displaystyle f}$ una función con valores reales definida sobre el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, tal que para todo ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ (es decir, tal que ${\displaystyle f}$ es positiva).

Sea ${\displaystyle S_{f}=\{(x,y)|0\leq y\leq f(x)}$ la región del plano delimitada por la curva correspondiente a la función ${\displaystyle f}$, el eje de las abscisas y las rectas verticales de ecuaciones ${\displaystyle x=a}$ y ${\displaystyle x=b}$. Estamos interesados en medir el área del dominio ${\displaystyle S}$, si es que se puede medir.

Para obtener una aproximación al área encerrada debajo de una curva, se la puede dividir en rectángulos como indica la figura.

El área de cada rectángulo, es el producto de la función en un punto, por el ancho del intervalo.

Al aumentar el número de rectángulos se obtiene una mejor aproximación.