Integrales para Producto de seno y coseno con argumentos distintos

 Integral de la forma  ∫sin nx cos  mx dx

Considere la integral de la forma   ∫sin nx cos  mx dx ∋ n ≠ m

Observe que si

sin (n + m) x =sin nx cos mx +s in mx cos nx

y

sin (n − m) x=sin nx cos mx−sin mx cos nx

sumando ambas expresiones tendremos

sin (n + m) x+sin (n − m) x =2sin nx cos mx

 

sin nx cos mx=1/2 [sin (n + m) x +sin (n−m)x]

Integral de la forma ∫sin nx sin mx dx ó ∫cos nxc os mx dx

Concidere la integral de la forma

∫sin nx sin mx dx  ∋ n ≠ m

y

∫cos nx cos mx dx  ∋ n ≠ m

Fíjese que

cos (n+m)x=cos nxcos mx−sin nxsin mx    (1)

cos (n−m) x=cos nxcos mx + sin nxsin mx    (2)

note que sumando (1) y (2) obtendremos

cos nx cos mx=1/2[cos (n+ m) x + cos (n−m) x]

y si restamos (1) y (2)

sin nx sin mx=1/2[cos (n−m) x−cos (n+ m)x]

de donde se puede observar que

∫sin nx sin mx dx=1/2∫[cos (n−m)x−cos (n+ m)x] dx

y

∫cos nx cos mx dx=1/2∫[cos⁡(n−m) x−cos (n+ m)x] dx

Ejercicio

Evalúe ∫sin 4x cos  5x dx

Solución : ∫sin 4x cos  5x dx 

= 1/2∫ [sin (4 + 5) x +sin (4−5)x]dx

=1/2∫ [sin 9 x + sin (-x)]dx

= 1/2 ∫ [sin 9 x - sinx]dx

=1/2 (-cos9x/9 + cosx ) + C

=∫sin 4x cos  5x dx = cosx/2 - cos9 /18 + C //