Método de Integración por sustitución trigonométrica

En la sustitución trigonométrica consiste en la sustitución de determinadas expresiones mediante el uso de funciones trigonométricas. En cálculo, la sustitución trigonométrica es una técnica que permite evaluar integrales, puesto que se pueden utilizar identidades trigonométricas para simplificar ciertas integrales que contienen expresiones radicales.

Fórmula general

La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la siguiente forma:

, ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}$ y ${\displaystyle {\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}$

Este método se basa en el uso de determinadas propiedades de los triángulos rectángulos, como el teorema de Pitágoras y ciertas identidades trigonométricas.

En el caso general, la integral a resolver es:

Simplificando paso a paso el término de la raíz, en primer lugar se saca ${\displaystyle A}$ como factor común, y luego se opera para poder dejarlo como suma de cuadrados:

Si se agrupan los coeficientes de esta forma,

${\displaystyle m^{2}=A}$

${\displaystyle a^{2}=C-{\frac {B^{2}}{4A}}}$

se obtendrá una de estas tres situaciones posibles:

1. ${\displaystyle A<0}$ y ${\displaystyle C-{\frac {B^{2}}{4A}}>0}$ es decir: ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-m^{2}\left(x+{\frac {B}{2A}}\right)^{2}}}}$
2. ${\displaystyle A>0}$ y ${\displaystyle C-{\frac {B^{2}}{4A}}>0}$ es decir: ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+m^{2}\left(x+{\frac {B}{2A}}\right)^{2}}}}$
3. ${\displaystyle A>0}$ y ${\displaystyle C-{\frac {B^{2}}{4A}}<0}$ es decir: ${\displaystyle {\sqrt {m^{2}\left(x+{\frac {B}{2A}}\right)^{2}-a^{2}}}}$

Ahora, haciendo que:

${\displaystyle u=m\left(x+{\frac {B}{2A}}\right)}$

se obtiene una de las tres formas de radicales conocidas. Los cambios que hay que realizar entonces según cada situación son los siguientes:

1. ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-u^{2}}};\quad u=a\operatorname {sen}(t)}$
2. ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+u^{2}}};\quad u=a\tan(t)}$
3. ${\displaystyle {\sqrt {u^{2}-a^{2}}};\quad u=a\sec(t)}$

La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en ${\displaystyle t}$. Una vez resuelta, se deshace el cambio.

Ejemplo I

Considérese la integral definida

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx}$

que puede ser evaluada haciendo el cambio de variable

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=2\operatorname {sen} \theta \\dx&=2\cos \theta \,d\theta \end{aligned}}}$

y en este caso, los límites de integración estarán determinados por

${\displaystyle \theta ={\text{arcsen}}\left({\frac {x}{2}}\right)}$

Tenemos que

si ${\displaystyle x=-1}$ entonces ${\displaystyle \theta ={\text{arcsen}}\left(-{\frac {1}{2}}\right)=-{\frac {\pi }{6}}}$

y si ${\displaystyle x=1}$ entonces ${\displaystyle \theta ={\text{arcsen}}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi }{6}}}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4-4\operatorname {sen} ^{2}\theta }}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(1-\operatorname {sen} ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(\cos ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}(2\cos \theta )(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&=2\left[\theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {sen} 2\theta \right]_{-\pi /6}^{\pi /6}\\[6pt]&=[2\theta +\operatorname {sen} 2\theta ]{\Biggl |}_{-\pi /6}^{\pi /6}\\[6pt]&=\left({\frac {\pi }{3}}+\operatorname {sen} {\frac {\pi }{3}}\right)-\left(-{\frac {\pi }{3}}+\operatorname {sen} \left(-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)\\[6pt]&={\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {3}}\end{aligned}}}$

Por otro lado, si aplicamos directamente los límites de integración para la fórmula de la antiderivada obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\left[2\;{\text{arcsen}}\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {x}{2}}{\sqrt {4-x^{2}}}\right]_{-1}^{1}\\[6pt]&=\left(2\;{\text{arcsen}}\left({\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\right)-\left(2\;{\text{arcsen}}\left(-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\right)\\[6pt]&=\left(2\cdot {\frac {\pi }{6}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)-\left(2\cdot \left(-{\frac {\pi }{6}}\right)-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\\[6pt]&={\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {3}}\end{aligned}}}$